Nombre réel - Corrigé

Énoncé

Soit \(z \in \mathbb{C}\) . On pose \(Z=z^2+\overline{z}^2\) . Montrer que  `Z` est un nombre réel.

Solution

• Méthode 1
  

Montrons que \(\text{Im}(Z)=0\) .

On pose  `z=x+iy` avec `x`  et `y`  des réels . On a alors :
\(\begin{align*} Z=z^2+\overline{z}^2 =(x+iy)^2+(x-iy)^2 =x^2+2ixy-y^2+x^2-2ixy-y^2 =2x^2-2y^2 \end{align*}\)
donc \(\text{Im}(Z)=0\) , et donc `Z \in \mathbb{R}` .

• Méthode 2 
  

Montrons que \(\overline{Z}=Z\) .

On a : \(\begin{align*} \overline{Z} =\overline{z^2+\overline{z}^2} =\overline{z^2}+\overline{\overline{z}^2} =\overline{z}^2+\overline{\overline{z}}^2 =\overline{z}^2+z^2=Z \end{align*}\)
donc   `Z \in \mathbb{R}`   .