Nombre réel - Corrigé

Énoncé

Soit $z\in \mathbb{C}$ . On pose $Z=z^2+{\bar{z}}^2$ . Montrer que  $Z$ est un nombre réel.

Solution

• Méthode 1
  

Montrons que $\text{Im}(Z)=0$ .

On pose  $z=x+iy$ avec $x$  et $y$  des réels . On a alors :
$\begin{array}{r}Z=z^2+{\bar{z}}^2=(x+iy{)}^2+(x-iy{)}^2=x^2+2ixy-y^2+x^2-2ixy-y^2=2x^2-2y^2\end{array}$
donc $\text{Im}(Z)=0$ , et donc $Z\in \mathbb{R}$ .

• Méthode 2 
  

Montrons que $\bar{Z}=Z$ .

On a : $\begin{array}{r}\bar{Z}=\overline{z^2+{\stackrel{―}{z}}^2}=\overline{z^2}+\overline{{\stackrel{―}{z}}^2}={\bar{z}}^2+{\overline{\stackrel{―}{z}}}^2={\bar{z}}^2+z^2=Z\end{array}$
donc   $Z\in \mathbb{R}$   .